جواب فعالیت صفحه 53 ریاضی هشتم

برای ضرب دو جمله جبری (یک‌جمله‌ای‌ها)، ابتدا ضریب‌های عددی را در هم ضرب می‌کنیم و سپس قسمت‌های حرفی را در هم ضرب می‌کنیم. **قانون توان مورد استفاده:** قانونی که برای ضرب قسمت‌های حرفی استفاده می‌شود، **قانون ضرب اعداد توان‌دار با پایه‌های مساوی** است. طبق این قانون، وقتی دو عبارت توان‌دار با پایه‌های یکسان در هم ضرب می‌شوند، یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم: $ a^m \times a^n = a^{m+n} $. **حل عبارت‌ها:** - $ ۲a \times ۳b = (۲ \times ۳)(a \times b) = ۶ab $ (چون پایه‌ها متفاوت هستند، فقط کنار هم نوشته می‌شوند.) - $ -۶ax \times ۲a^۲ = (-۶ \times ۲) (a^۱ \times a^۲) (x) = -۱۲ a^{۱+۲} x = -۱۲a^۳x $ - $ ۴ba \times ۳b^۲ = (۴ \times ۳) (a) (b^۱ \times b^۲) = ۱۲ a b^{۱+۲} = ۱۲ab^۳ $

**نتیجه‌گیری تساوی جبری از شکل:** شکل، خاصیت توزیع‌پذیری ضرب را نشان می‌دهد. مساحت مستطیل بزرگ برابر است با حاصل‌ضرب عرض ($a$) در طول ($b+c$)، یعنی $ a(b+c) $. این مساحت همچنین برابر با مجموع مساحت‌های دو مستطیل کوچک‌تر، یعنی $ab$ (مستطیل سبز) و $ac$ (مستطیل قرمز) است. بنابراین: $ a(b+c) = ab + ac $ **انجام ضرب‌ها:** با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری که از شکل نتیجه گرفتیم، ضرب‌ها را انجام می‌دهیم: - $ ۲a(a+b) = (۲a \times a) + (۲a \times b) = ۲a^۲ + ۲ab $ - $ ۳x(۲x-۱) = (۳x \times ۲x) + (۳x \times -۱) = ۶x^۲ - ۳x $

**تکمیل تساوی جبری با استفاده از مساحت:** شکل نشان می‌دهد که مساحت مستطیل بزرگ با ابعاد $ (a+b) $ و $ (c+d) $ برابر با مجموع مساحت چهار مستطیل کوچک‌تر ($ac, ad, bc, bd$) است. این همان خاصیت توزیع‌پذیری برای ضرب دو دوجمله‌ای است. $ (a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac + ad + bc + bd $ $ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $ **محاسبه حاصل‌ضرب‌ها:** برای ضرب دو عبارت، هر جمله از عبارت اول را در تمام جملات عبارت دوم ضرب می‌کنیم. - $ (x+y)(x-y) = x(x-y) + y(x-y) = x^۲ - xy + yx - y^۲ = x^۲ - y^۲ $ (این یک اتحاد معروف به نام **اتحاد مزدوج** است.) - $ (x-۱)(x+۱) = x(x+۱) - ۱(x+۱) = x^۲ + x - x - ۱ = x^۲ - ۱ $ (این نیز نمونه‌ای دیگر از اتحاد مزدوج است.) - $ (۳x-۲)(۲x-۳) = ۳x(۲x-۳) - ۲(۲x-۳) = (۶x^۲ - ۹x) - (۴x - ۶) = ۶x^۲ - ۹x - ۴x + ۶ = ۶x^۲ - ۱۳x + ۶ $